Найти выражение для вынуждающей силы

Обновлено: 04.11.2024

Рассмотрим систему, на которую, кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– rυ), действует добавочная периодическая сила F – вынуждающая сила. Для колебаний вдоль оси x запишем:


– основное уравнение колебательного процесса, или


,
(3.3.1)

где fx = Fx/m вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:


Через некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания системы будут совершаться с частотой вынуждающей силы ω.

Уравнение установившихся вынужденных колебаний:

.
(3.3.2)

Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждающей силой.

Обратим внимание на то, что скорость на π/2 опережает смещение, а ускорение на π/2 опережает скорость (см. п. 1.3).


,
(3.3.3)

.
(3.3.4)

Преобразуем и (3.3.2) через косинус:


.
(3.3.5)


Обозначим – угол между смещением и вынуждающей силой.

Подставим (3.3.3), (3.3.4) и (3.3.5) в (3.3.1):



Каждое слагаемое последнего уравнения можно представить в виде соответствующего вращающегося вектора амплитуды:

амплитуда ускорения; – амплитуда скорости; амплитуда смещения; амплитуда вынуждающей силы, причем

Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов:


.



Из рис. 3.2 видно, что . Найдем амплитуду А:



.
(3.3.7)

Таким образом, и .

При постоянных F0, m и β амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω0.

Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения


(3.3.8)

Из рис. 3.3 видно, что сила опережает смещение на угол, который определяется из выражения


.

Проанализируем выражение (3.3.7).


1) (частота вынуждающей силы равна нулю), тогда


статическая амплитуда (колебания не совершаются).

2) (затухания нет). С увеличением ω (но при ) амплитуда растет и при резко возрастает ( ). Это явление называется резонанс. При дальнейшем увеличении ω ( ) амплитуда опять уменьшается (рис. 3.4).



3) Амплитуда будет максимальна при минимальном значении знаменателя. Для нахождения точки перегиба возьмем первую производную по ω от подкоренного выражения (3.3.7) и приравняем ее к нулю:


0, следовательно, выражение в скобках равно нулю:


, отсюда


,
(3.3.9)

где ωрез – резонансная частота.

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к ωрез называется резонансом.

Для консервативной системы, т.е. из (3.3.9) следует ; для диссипативной ωрез несколько меньше собственной круговой частоты ω0 (рис. 3.4).


С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при .

Читайте также: