Найти выражение для вынуждающей силы

Обновлено: 28.04.2024

Рассмотрим систему, на которую, кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– rυ), действует добавочная периодическая сила F – вынуждающая сила. Для колебаний вдоль оси x запишем:

– основное уравнение колебательного процесса, или

(3.3.1)

где f_x = F_x/m – вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

Через некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания системы будут совершаться с частотой вынуждающей силы ω.

Уравнение установившихся вынужденных колебаний:

(3.3.2)

Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждающей силой.

Обратим внимание на то, что скорость на π/2 опережает смещение, а ускорение на π/2 опережает скорость (см. п. 1.3).

(3.3.3)

(3.3.4)

Преобразуем и (3.3.2) через косинус:

(3.3.5)

Обозначим – угол между смещением и вынуждающей силой.

Подставим (3.3.3), (3.3.4) и (3.3.5) в (3.3.1):

Каждое слагаемое последнего уравнения можно представить в виде соответствующего вращающегося вектора амплитуды:

– амплитуда ускорения; – амплитуда скорости; – амплитуда смещения; – амплитуда вынуждающей силы, причем

Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов:

Из рис. 3.2 видно, что . Найдем амплитуду А:

(3.3.7)

Таким образом, и .

При постоянных F₀, m и β амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω₀.

Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения

(3.3.8)

Из рис. 3.3 видно, что сила опережает смещение на угол, который определяется из выражения

Проанализируем выражение (3.3.7).

1) (частота вынуждающей силы равна нулю), тогда

– статическая амплитуда (колебания не совершаются).

2) (затухания нет). С увеличением ω (но при ) амплитуда растет и при резко возрастает ( ). Это явление называется резонанс. При дальнейшем увеличении ω ( ) амплитуда опять уменьшается (рис. 3.4).

3) Амплитуда будет максимальна при минимальном значении знаменателя. Для нахождения точки перегиба возьмем первую производную по ω от подкоренного выражения (3.3.7) и приравняем ее к нулю:

4ω ≠ 0, следовательно, выражение в скобках равно нулю:

, отсюда

(3.3.9)

где ω_рез – резонансная частота.

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к ω_рез называется резонансом.

Для консервативной системы, т.е. из (3.3.9) следует ; для диссипативной ω_рез несколько меньше собственной круговой частоты ω₀ (рис. 3.4).

С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при .

Читайте также: