Найти выражение для вынуждающей силы
Обновлено: 21.11.2024
Рассмотрим систему, на которую, кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– rυ), действует добавочная периодическая сила F – вынуждающая сила. Для колебаний вдоль оси x запишем:
– основное уравнение колебательного процесса, или
|
где fx = Fx/m – вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:
Через некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания системы будут совершаться с частотой вынуждающей силы ω.
Уравнение установившихся вынужденных колебаний:
|
Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждающей силой.
Обратим внимание на то, что скорость на π/2 опережает смещение, а ускорение на π/2 опережает скорость (см. п. 1.3).
|
Преобразуем и (3.3.2) через косинус:
|
Обозначим – угол между смещением и вынуждающей силой.
Подставим (3.3.3), (3.3.4) и (3.3.5) в (3.3.1):
Каждое слагаемое последнего уравнения можно представить в виде соответствующего вращающегося вектора амплитуды:
– амплитуда ускорения; – амплитуда скорости; – амплитуда смещения; – амплитуда вынуждающей силы, причем
Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов:
.
Из рис. 3.2 видно, что . Найдем амплитуду А:
|
Таким образом, и .
При постоянных F0, m и β амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω0.
Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения
|
Из рис. 3.3 видно, что сила опережает смещение на угол, который определяется из выражения
.
Проанализируем выражение (3.3.7).
1) (частота вынуждающей силы равна нулю), тогда
– статическая амплитуда (колебания не совершаются).
2) (затухания нет). С увеличением ω (но при ) амплитуда растет и при резко возрастает ( ). Это явление называется резонанс. При дальнейшем увеличении ω ( ) амплитуда опять уменьшается (рис. 3.4).
3) Амплитуда будет максимальна при минимальном значении знаменателя. Для нахождения точки перегиба возьмем первую производную по ω от подкоренного выражения (3.3.7) и приравняем ее к нулю:
4ω ≠ 0, следовательно, выражение в скобках равно нулю:
, отсюда
|
где ωрез – резонансная частота.
Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к ωрез называется резонансом.
Для консервативной системы, т.е. из (3.3.9) следует ; для диссипативной ωрез несколько меньше собственной круговой частоты ω0 (рис. 3.4).
С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при .
Читайте также:
| | | | | | | |
