Модуль упругости определяется выражением

Обновлено: 21.11.2024

Все твердые тела, как кристаллические, так и аморфные, имеют свойство изменять свою форму под воздействие приложенной к ним силы. Другими словами, они подвергаются деформации. Если тело возвращается к исходным размерам и форме после того, как внешнее усилие прекращает свое воздействие, то его называют упругим, а его деформацию считают упругой. Для любого тела существует предел приложенного усилия, после которого деформация перестает быть упругой, тело не возвращается в исходную форму и к исходным размерам, а остается в деформированном состоянии или разрушается. Теория упругих деформаций тел была создана в конце 17 века британским ученым Р. Гуком и развита в трудах его соотечественника Томаса Юнга. В их честь Гука и Юнга были названы соответственно закон и коэффициент, определяющий степень упругости тел. Он активно применяется в инженерном деле в ходе расчетов прочности конструкций и изделий.

Модуль Юнга

Основные сведения

Модуль Юнга, (называемый также модулем продольной упругости и модулем упругости первого рода) это важная механическая характеристика вещества. Он является мерой сопротивляемости продольным деформациям и определяет степень жесткости. Он обозначается как E; измеряется н/м 2 или в Па.

Это важный коэффициент применяют при расчетах жесткости заготовок, узлов и конструкций, в определении их устойчивости к продольным деформациям. Вещества, применяемые для изготовления промышленных и строительных конструкций, имеют, как правило, весьма большие значения E. И поэтому на практике значения Е для них приводят в гигаПаскалях (10 12 Па)

Величину E для стержней поддается расчету, у более сложных конструкций она измеряется в ходе опытов.

Приближенные величины E возможно узнать из графика, построенного в ходе тестов на растяжение.

График теста на растяжение

E- это частное от деления нормальных напряжений σ на относительное удлинение ε.

Закон Гука также можно сформулировать и с использованием модуля Юнга.

Физический смысл модуля Юнга

Во время принудительного изменения формы предметов внутри них порождаются силы, сопротивляющиеся такому изменению, и стремящиеся к восстановлению исходной формы и размеров упругих тел.

Если же тело не оказывает сопротивления изменению формы и по окончании воздействия остается в деформированном виде, то такое тело называют абсолютно неупругим, или пластичным. Характерным примером пластичного тела является брусок пластилина.

Р. Гук исследовал удлинение стрежней из различных веществ, под воздействием подвешенных к свободному концу гирь. Количественным выражением степени изменения формы считают относительное удлинение, равное отношению абсолютного удлинения и исходной длины.

В результате серии опытов было установлено, что абсолютное удлинение пропорционально с коэффициентом упругости исходной длине стрежня и деформирующей силе F и обратно пропорционально площади сечения этого стержня S:

Величину, обратную α, и называют модулем Юнга:

ε = (Δl) / l = α * (F/S)

Отношение растягивающей силы F к S называют упругим напряжением σ:

Закон Гука, записанный с использованием модуля Юнга, выглядит так:

Теперь можно сформулировать физический смысл модуля Юнга: он соответствует напряжению, вызываемому растягиванием стержнеобразного образца вдвое, при условии сохранения целостности.

В реальности подавляющее большинство образцов разрушаются до того, как растянутся вдвое от первоначальной длины. Значение E вычисляют с помощью косвенного метода на малых деформациях.

Коэффициент жёсткости при упругой деформации стержня вдоль его оси k = (ES) / l

Модуль Юнга определяет величину потенциальной энергии тел или сред, подвергшихся упругой деформации.

Значения модуля юнга для некоторых материалов

В таблице показаны значения E ряда распространенных веществ.

Материалмодуль Юнга E, ГПа
Алюминий70
Бронза75-125
Вольфрам350
Графен1000
Латунь95
Лёд3
Медь110
Свинец18
Серебро80
Серый чугун110
Сталь200/210
Стекло70

Модуль продольной упругости стали вдвое больше модуля Юнга меди или чугуна. Модуль Юнга широко применяется в формулах прочностных расчетов элементов конструкций и изделий в целом.

Предел прочности материала

Это предел возникающего напряжения, после которого образец начинает разрушаться.

Инструмент для определения предела прочности

Кроме того, существуют пределы прочности на сжатие материала и на растяжение. Они определяются на испытательных стенда опытным путем, при растягивании или сжатии образцов мощными гидравлическим машинами, снабженными точными динамометрами и измерителями давления. В случае невозможности достижения требуемого давления гидравлическим способом иногда применяют направленный взрыв в герметичной капсуле.

Допускаемое механическое напряжение в некоторых материалах при растяжении

Из жизненного опыта известно, что разные материалы по-разному сопротивляются изменению формы. Прочностные характеристики кристаллических и других твердых тел определяются силами межатомного взаимодействия. По мере роста межатомных расстояний возрастают и силы, притягивающие атомы друг к другу. Эти силы достигают максимума при определенной величине напряжения, равной приблизительно одной десятой от модуля Юнга.

Испытание на растяжение

Эту величину называют теоретической прочностью, при ее превышении начинается разрушение материала. В реальности разрушение начинается при меньших значениях, поскольку строение реальных образцов неоднородно. Это вызывает неравномерное распределение напряжений, и разрушение начинается с тех участков, где напряжения максимальны.

Материалыσраст
Бор57000,083
Графит23900,023
Сапфир14950,030
Стальная проволока4150,01
Стекловолокно3500,034
Конструкционная сталь600,003
Нейлон480,0025

Эти цифры учитываются конструкторами при выборе материала деталей будущего изделия. С их использованием также проводятся прочностные расчеты. Так, например, тросы, используемые для подъемно- транспортных работ, должны иметь десятикратный запас по прочности. Периодически их проверяют, подвешивая груз в десять раз больше, чем паспортная грузоподъемность троса.

Запасы прочности, закладываемые в ответственные конструкции, также многократны.

Коэффициент запаса прочности

Для количественного выражения запаса прочности при конструировании применяют коэффициент запаса прочности. Он характеризует способность изделия к перегрузкам выше номинальных. Для бытовых изделий он невелик, но для ответственных узлов и деталей, могущих при разрушении представлять опасность для жизни и здоровья человека, его делают многократным.

Точный расчет прочностных характеристик позволяет создать достаточный для безопасности запас прочности и одновременно не перетяжелить конструкцию, ухудшая ее эксплуатационные характеристики. Для таких расчетов используются сложные математические методы и совершенное программное обеспечение. Наиболее важные конструкции обсчитывают на суперкомпьютерах.

Связь с другими модулями упругости

Модуль Юнга связан с модулем сдвига, определяющим способность образца к сопротивлению против деформации сдвига, следующим соотношением:

E связан также и с модулем объёмной упругости, определяющим способность образца к сопротивлению против одновременного сжатия со всех сторон.

Читайте также: