Методика обучения буквенным выражениям

Обновлено: 05.10.2024

Нажмите, чтобы узнать подробности

Разработала методику для изучения выражений в начальных классах.

Просмотр содержимого документа
«Методика изучения алгебраического материала в начальных классах школы»

1. Методика изучения алгебраического материала в начальных классах школы

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала.

1.2. Методика изучения числовых выражений.

1.3. Изучение буквенных выражений.

1.4. Изучение числовых равенств и неравенств.

1.5. Методика изучения уравнений.

1.6. Решение простых арифметических задач с помощью составления уравнений.

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала

Введение алгебраического материала в начальный курс математики позволяет подготовить учащихся к изучению основных понятий современной математики (переменная, уравнение, равенство, неравенство и др.), способствует обобщению арифметических знаний, формированию у детей функционального мышления.

Учащиеся начальных классов должны получить первоначальные сведения о математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, научиться решать уравнения, предусмотренные учебной программой и простые арифметические задачи с помощью составления уравнения (теоретическая основа выбора арифметического действия в которых связь между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия0.

Изучение алгебраического материала ведётся в тесной связи с арифметическим материалом.

1.2. Методика изучения числовых выражений

В математике под выражением понимают построенную по определённым правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.

Задачи изучения темы

1) Научить учащихся читать и записывать выражения, предусмотренные программой.

2) Ознакомить учащихся с правилами порядка выполнения арифметических действий.

3) Научить находить числовые значения выражений.

4) Ознакомить с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

Решение поставленных задач осуществляется на протяжении всех лет обучения в начальных классах, начиная с первых дней пребывания ребёнка в школе.

В методике работы над числовыми выражениями предусматривается три этапа: на первом этапе - формирование понятий о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на третьем этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.

С простейшими выражениями - суммой и разностью - учащихся знакомят в первом классе (по программе 1-4) с произведением и частным - во втором классе.

Рассмотрим методику изучения числовых выражений.

Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 3+2, 7-1 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (к 3 прибавить 2).

В дальнейшем понятия о действиях углубляются: учащиеся узнают, что, прибавляя (вычитая) несколько единиц, мы увеличиваем (уменьшаем) число на столько же единиц (чтение: 3 увеличить на 2), затем дети узнают название знаков действий «плюс» (чтение: 3 плюс 2), «минус».

В теме «Сложение и вычитание в пределах 20» детей знакомят с понятиями «сумма», «разность» как названиями математических выражений и как названием результата арифметических действий сложения и вычитания.

Умение читать и записывать выражения, находить их значения с помощью соответствующего арифметического действия вырабатывается с помощью многократных упражнений.

Рассмотрим фрагмент урока (2 кл.).

На доску выложить 4 красных и 3 жёлтых круга:

- Сколько красных кругов? (Записать число 4.)

- Сколько жёлтых кругов? (Записать число 3.)

- Какое действие над числами 3 и 4 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (появляется запись: 4+3).

- Скажите, не считая, сколько всего кругов?

- Такое выражение в математике, когда между числами стоит знак «+», называют суммой (Скажем вместе: сумма) и читают так: сумма четырёх и трёх.

- А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 4 и 3 (даём полный ответ).

Аналогично про разность.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из 3 и более чисел, соединённых одинаковыми и разными знаками арифметических действий: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 и т.д. Раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает способ их чтения. Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке арифметических действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его: 10-3+2=7+2=9. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Умение составлять и находить значение выражения используется детьми при решении арифметических задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием «выражение», усваивается конкретный смысл выражений в записях решения задач.

Термины «выражение», «значение выражения» вводятся без определений. Для того, чтобы детям облегчить работу по чтению и нахождению значения сложных выражений, методисты рекомендуют использовать схему, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:

1) Установлю, какое действие выполняется последним.

2) Подумаю, как называются числа при выполнении это действия.

3) Прочитаю, чем выражены эти числа.

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются в 3 классе, но практически некоторые из них дети используют в первом и втором классах.

Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление (3 кл). Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, приобретённые ранее, обратить внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать правило.

Подведение детей к формулировке правила, осознание его может быть различным. Главная опора на имеющийся опыт, максимально возможная самостоятельность, создание ситуации поиска и открытия, доказательности.

Можно использовать методический приём Ш.А. Амонашвили «ошибка учителя».

Например. Учитель сообщает, что при нахождении значения следующих выражений у него получились ответы, в правильности которых он уверен (ответы закрыты).

Предлагает детям самим найти значения выражений, а затем сопоставить ответы с ответами, полученными учителем (к этому моменту результаты арифметических действий открываются). Дети доказывают, что учителем допущены ошибки и на основе изучения частных фактов формулируют правило (см. учебник математики, 3 кл.).

Аналогично можно ввести остальные правила порядка выполнения действий: когда в выражениях без скобок содержатся действия 1 и 2 ступени, в выражениях со скобками. Важно, чтобы дети осознали, что изменение порядка выполнения арифметических действий приводит к изменению результата, в связи с чем математики решили договориться и сформулировали правила, которые необходимо строго соблюдать.

Преобразование выражения - замена данного выражения другим с тем же числовым значением. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия из них

При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять дей­ствия по-разному, но значение выражения при этом не изме­няется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в тождественные выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак « = » сохранился:

76-(20 + 4) =76-20. (10 + 7) -5= 10-5.

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитают сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо спра­ва еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие выражения, т. е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответст­вующее правило. И, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобра­зованного выражений и сравнивают их.

Применяя знания свойств действий для обоснования прие­мов вычислений, учащиеся I—IV классов выполняют преобразования выражений вида:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясня­ли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком « = », потому что имеют одинаковые значения. Для этого изредка сле­дует предлагать детям вычислять значения выражений и cpавнивать их.

Это предупреждает ошибки вида:

75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24•12= (10 + 2) =24•10+24•2 = 288.

Учащиеся II-IV классов выполняют преобразование выра­жений не только на основе свойств действии, но и на основе их конкретного смысла. Например, сумму одинаковых слагае­мых заменяют произведением: (6+ 6 + 6 = 6•3, и наоборот: 9•4 = = 9 + 9 + 9 + 9).

Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8•4 + 8 = 8•5, 7•6-7=7 •5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся IV класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся уп­ражняются в преобразовании выражений со скобками в тож­дественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

(65 + 30)-20 (20 + 4) •3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Так, первое из заданных выражений дети заменяют выражениями: 65 + 30-20, 65-20+30, поясняя порядок выполне­ния действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка дей­ствий только в том случае, если при этом применяются свой­ства действий.

1.3. Изучение буквенных выражений

Впервые с переменной учащиеся знакомятся в 3 кл. при изучении темы «Выражение и его значение». Работа по раскрытию смысла переменной ведётся в тесной связи с изучением арифметических действий. В процессе обучения дети должны научиться читать и записывать выражения с одной и двумя переменными вида: а+27, а+в, с-12, с-d, 3•в, 15:с, в:с и т.д., научиться находить значения этих выражений при заданных значениях букв.

Подготовительная работа по раскрытию смысла переменной начинается ещё в первом классе. С этой целью в учебник математики включаются задания, в которых переменная обозначается «окошком». Например: 3+=5, 6-=5 и др.

В 3 кл. дети знакомятся с выражениями, содержащими переменную, а затем две переменных. Термин «переменная» не вводится.

В качестве примера рассмотрим фрагмент урока по ознакомлению с выражениями с переменной.

Целесообразно использовать на этом уроке пособие, изображённое в учебнике: по прорезям картонного прямоугольника с «окошком» передвигается лента с числами, перед (или за) окошком записаны знак арифметического действия и число. Учитель передвигает ленту, а дети читают и записывают выражения: 5+12, 5+6 и т.д.

Учитель сообщает, что в математике вместо «окошка» записывают латинские буквы а, в, с и др. Затем вместо «окошка» записывают различные буквы, читают полученные выражения разными способами (5+с - сумма чисел 5 и с, 5 плюс с) и находят значения этого выражения, подставляя вместо «с» различные значения (можно изготовить несколько лент).

Подчёркивается, что 12, 6, 17 - это значения буквы «с». 17, 12, 6 - это значения выражения 5 + с при заданных значениях буквы «с». Необходимо уточнить, какие значения можно давать букве «с» в этом выражении. Какие значения букве «с» можно было бы дать в выражении 5-с? Затем проводится работа с учебником для закрепления. В этом задании можно установить ОДЗ (область допустимых значений) буквы «в» (может ли быть равно 7, 6 и почему). Усвоению буквенной символики помогает выполнение следующих заданий:

Усвоению буквенной символики помогают следующие упраж­нения:

Нахождение числовых значений буквенных выражений при данных значениях букв, например: «Прочитайте выражение a + d. Вычислите значения суммы, если а==5, d=20; а=13,
d=8; а=1, d=19».

Подбор самими учащимися числовых значений букв, вхо­дящих в выражение, и нахождение числовых значений этих вы­ражений. Например, заполните таблицу

Полезно обращать вни­мание учащихся на то, какие значения можно придавать букве в за­данном выражении. Например, рассматривается выражение 37—k. Учитель предлагает учащимся придать букве к два зна­чения и найти значение разности. Учащиеся выполняют задание в тетрадях. При проверке работы учитель записывает на доске числовые значения буквы k, которые придали ей учащиеся, а также выясняет, можно ли придать букве k другие значения, можно ли ей придать значение 38, 40, 100, какое наименьшее значение она может принимать, какое у нее здесь может быть самое боль­шое значение. Значит (сделает обобщение учитель), букве k можно придавать любые числовые значения от 0 до 37.

Когда уч-ся уяснят смысл буквенной символики, можно использовать буквы в качестве средства обобще­ния формируемых у них знаний. Конкретной базой для использования буквенной символики как средства обобще­ния служат знания об арифметических действиях.

Вся система упражнений здесь строится в соответствии с принципом от конкретного к абстрактному. Буквенная симво­лика будет являться средством обобщения только тогда, когда уч-ся много раз наблюдали на числовых примерах опреде­ленные связи, зависимости, отношения, свойства и т. п., форму­лировали соответствующие выводы, правила или свойства и пользовались ими при выполнении различных упражнений.

На этом этапе уч-ся, выполняя специальные упражне­ния, овладевают следующими умениями:

1.Записать при помощи букв свойства арифметических дей­ствий, связь между компонентами и результатами арифметиче­ских действий и т. п. Например, во II классе действие умноже­ния вводится как нахождение суммы одинаковых слагаемых. Обобщая это знание связи между суммой одинаковых слагае­мых и произведением, важно показать, что сумму любых оди­наковых слагаемых можно заменить произведением и, наоборот, произведение двух чисел, если второй множитель больше еди­ницы, можно представить в виде суммы одинаковых слагаемых. С этой целью предлагаются задания: заменить сумму а+а+а+а произведением.

Уч-ся заменяют сумму а+а+а+а произведением а*4, рассуждая так: здесь слагаемые одинаковые (а), значит,можно заменить сумму произведением, первым множителем будет а, а вторым множителем число 4, так как четыре слагаемых.

Выполняя обратное упражнение: заменить произведение с*3 суммой, уч-ся рассуждают так: с умножить на 3 — значит с взять слагаемым три раза, можно записать: с-3 = с+с+с.

2.Прочитать записанные с помощью букв свойства арифме­тических действий, зависимости, отношения и т. п. Например: «Прочитайте выражение (d+35)— d и найдите, чему оно равно». Ученики рассуждают следующим образом: «Из суммы чисел d и 35 вычесть первое слагаемое d, получится второе сла­гаемое 35. Запишем: (d+35) —d=35».

3.Выполнить тождественное преобразование выражения на основе знания свойств арифметических действий. Например, дается задание закончить запись: (5 + b)*3 = 5*3 + . Выполняя это задание, уч-ся рассуждают так: «В левой части равен­ства сумму чисел 5 и b умножим на 3; в правой — первое сла­гаемое 5 умножим на 3; чтобы справа получилось столько же,сколько слева, надо умножить второе слагаемое b на 3 и ре­зультаты сложить».

4.Доказать справедливость заданных равенств или нера­венств при помощи числовой подстановки. Например, предла­гается показать, что при любых значениях буквы с верны следующие равенства и неравенства: с+5=5+с, с+17с+15. Уч-ся сами придают букве с числовые значения, записывают несколько числовых равенств и неравенств, вычисляют значения выражений и, сравнивая их, убеждаются в том, что полученные равенства и неравенства верны. Выполненная работа помогает учащимся обобщить свои наблюдения и воспроизвести соответствующие формулировки свойств и зависимостей арифметических действий и применить их к заданным равенствам и неравенствам.

Таким образом, использование буквенной символики способ­ствует повышению уровня обобщения знаний, приобретаемых учащимися начальных классов, и готовит их к изучению систе­матического курса алгебры в следующих классах

Читайте также: