Метод рационализации подынтегрального выражения
Обновлено: 04.11.2024
Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группах 447-1,2 и 437-1,2,3 весной 2018 года. Даны с подробным разбором задачи, которые решались на каждом практическим занятии. Пособие может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, как материал для планирования занятий.
Для удобства в пособии применяется сквозная нумерация задач. Материал за ту или иную дату можно определить по таблице для каждой группы отдельно. Задачи, которые были решены в классе со всеми 5-ю группами, нумеруются в общем списке, а задачи, которые в каких-либо группах успели решить в классе, а в каких-либо даны в качестве домашней работы, нумеруются Д1, Д2, . Некоторые из них здесь тоже набраны с решениями, некоторые нет.
Задачи, в которых есть комбинации различных тем или методов, и по объёмы не подходят для контрольных работ, могут попасть в билеты на экзамене, они помечены символом (Э).
Оглавление по темам
Интегралы Элементарные преобразования . Подведение под знак дифференциала. Интегрирование по частям. | 5 9 16 |
Таблица соответствия занятий и номеров задач
Неделя | 437-1 | 437-2 | 437-3 | 447-1 | 447-2 |
1 | 14.02 1- 14 | 14.02 1- 14 | 15.02 1- 14 16.02 15- 27 | 15.02 1-13, Д1-2 15.02 14-20, Д3-9 | 13.02 1-13 |
2 | 21.02 15- 27 | 21.02 15- 27 | - | 20.02 | 22.02 22.02 |
3 | 28.02 | 28.02 | 02.03 | ||
4 | 07.03 | 07.03 | 09.03 | ||
5 | 14.03 | 14.03 | 16.03 | ||
6 | 21.03 | 21.03 | 23.03 | ||
7 | 28.03 | 28.03 | 30.03 | ||
8 | 04.04 | 04.04 | 06.04 | ||
9 | 11.04 | 11.04 | 13.04 | ||
10 | 18.04 | 18.04 | 20.04 | ||
11 | 25.04 | 25.04 | 27.04 | ||
12 | 02.05 | 02.05 | 04.05 | ||
13 | - | - | 11.05 | ||
14 | 16.05 | 16.05 | 18.05 | ||
15 | 23.05 | 23.05 | 25.05 | ||
16 | 30.05 | 30.05 | 01.06 |
Неопределённый интеграл.
Элементарные преобразования подынтегрального выражения.
Задача 1. Вычислить .
Решение. Известно, что . При дифференцровании функций вида происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.
Ответ. .
Задача 2. Вычислить .
Решение. Замечая, что , преобразуем так:
Ответ. .
Задача 3.Вычислить .
Решение. Известна формула . Если в знаменателе линейная функция вида , то можно добавить константу под знаком дифференциала, от этого ничего не изменилось бы, ведь производная константы это 0. Итак, = . Теперь интеграл имеет вид и конечно, равен . Фактически применили замену . Сделав обратную замену, получаем ответ: .
Ответ. .
Задача 4. Вычислить .
Решение.Здесь, в отличие от прошлой задачи, уже и в числителе есть переменная, то есть здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.
= и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: .
Ответ. .
Задача 5. Вычислить .
Решение.В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.
Получили частное , остаток . Теперь можно представить в виде суммы интегралов:
Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда = = что тоже приводит к .
Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:
Ответ. .
Задача 6. Вычислить .
Решение.Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .
Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:
С помощью замены сводится к интегралу:
= , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.
Ответ. .
Задача 7. Вычислить .
Решение.В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.
Выделяя полный квадрат, получим = .
В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается = = .
Читайте также: