Метод рационализации подынтегрального выражения

Обновлено: 22.12.2024

Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группах 447-1,2 и 437-1,2,3 весной 2018 года. Даны с подробным разбором задачи, которые решались на каждом практическим занятии. Пособие может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, как материал для планирования занятий.

Для удобства в пособии применяется сквозная нумерация задач. Материал за ту или иную дату можно определить по таблице для каждой группы отдельно. Задачи, которые были решены в классе со всеми 5-ю группами, нумеруются в общем списке, а задачи, которые в каких-либо группах успели решить в классе, а в каких-либо даны в качестве домашней работы, нумеруются Д1, Д2, . Некоторые из них здесь тоже набраны с решениями, некоторые нет.

Задачи, в которых есть комбинации различных тем или методов, и по объёмы не подходят для контрольных работ, могут попасть в билеты на экзамене, они помечены символом (Э).

Оглавление по темам

Интегралы Элементарные преобразования . Подведение под знак дифференциала. Интегрирование по частям. 5 9 16

Таблица соответствия занятий и номеров задач

Неделя 437-1 437-2 437-3 447-1 447-2
1 14.02 1- 14 14.02 1- 14 15.02 1- 14 16.02 15- 27 15.02 1-13, Д1-2 15.02 14-20, Д3-9 13.02 1-13
2 21.02 15- 27 21.02 15- 27 - 20.02 22.02 22.02
3 28.02 28.02 02.03
4 07.03 07.03 09.03
5 14.03 14.03 16.03
6 21.03 21.03 23.03
7 28.03 28.03 30.03
8 04.04 04.04 06.04
9 11.04 11.04 13.04
10 18.04 18.04 20.04
11 25.04 25.04 27.04
12 02.05 02.05 04.05
13 - - 11.05
14 16.05 16.05 18.05
15 23.05 23.05 25.05
16 30.05 30.05 01.06

Неопределённый интеграл.

Элементарные преобразования подынтегрального выражения.

Задача 1. Вычислить .

Решение. Известно, что . При дифференцровании функций вида происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.

Ответ. .

Задача 2. Вычислить .

Решение. Замечая, что , преобразуем так:

Ответ. .

Задача 3.Вычислить .

Решение. Известна формула . Если в знаменателе линейная функция вида , то можно добавить константу под знаком дифференциала, от этого ничего не изменилось бы, ведь производная константы это 0. Итак, = . Теперь интеграл имеет вид и конечно, равен . Фактически применили замену . Сделав обратную замену, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 4. Вычислить .

Решение.Здесь, в отличие от прошлой задачи, уже и в числителе есть переменная, то есть здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.

= и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 5. Вычислить .

Решение.В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.

Получили частное , остаток . Теперь можно представить в виде суммы интегралов:

Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда = = что тоже приводит к .


Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:

Ответ. .

Задача 6. Вычислить .

Решение.Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .

Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:

С помощью замены сводится к интегралу:

= , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.

Ответ. .

Задача 7. Вычислить .

Решение.В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.

Выделяя полный квадрат, получим = .

В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается = = .

Читайте также: