Логические операции над высказываниями и предикатами

Обновлено: 22.12.2024

Высказываниями в математической логике называют предложения, о которых можно сказать истинны они или ложны.

Повелительные, вопросительные и бессмысленные предложения не являются высказываниями. О них нельзя говорить, истинны они или ложны.

"Солнце всходит на восток" - истинно.

"Помеха улучшает качество приема" - ложно.

Высказывания обычно обозначаются буквами А, В, С,….

Если имеется одно или несколько высказываний, то из них можно получить новые высказывания, называемые сложными или составными, с использованием следующих логических связок (операций).

Для сокращения записей значений высказываний используются обозначения:

“И”, “1”, “ДА” - истинно;

Предикатаминазывают предложения, содержащие переменные, при замене которых предложения превращаются в истинные или ложные высказывания.

Например, предикатами являются высказывания:

1. Число х нацело делится на 3.

Высказывания обычно обозначаются буквами A,B,C, … ,а предикаты – А(х), В(х;у).

Логические операции над высказываниями и предикатами.

Если имеются несколько высказываний, то из них, используя логические связки с помощью союзов «и», «или», отрицания «не», слов «если … , то», «тогда и только тогда, когда …», можно образовать новые высказывания

1. Отрицание высказывания А.

Назовем отрицанием высказывания А такое высказывание , которое состоит в том, что высказывание А отвергается. Ясно, что истинностные значения высказывания и его отрицания взаимно противоположны. Например, отрицанием высказывание А: «6 – четное число» (истина) служит высказывание :”6 – нечетное число” (ложь); для высказывания В «катет равен гипотенузе» (ложь) отрицанием будет : “катет не равен гипотенузе” (истина).

В связи с этим отрицание А читают также “не А”.

2. Конъюнкция высказываний (логическое произведение).

Конъюнкцией высказываний А и В называют высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда истинны и высказывание А и высказывание В. Обозначают конъюнкцию высказываний А и В следующим образом: и читают “А и В”. Например, высказывание: можно рассматривать как конъюнкцию высказываний: и .

3. Дизъюнкция высказываний (логическая сумма).

Дизъюнкцией высказываний А и В называют высказывание , являющееся истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний A или B.

Например, высказывание: можно рассматривать как дизъюнкцию высказываний: и . В связи с этим операцию конъюнкции между А и В читают также “А или В”.

4. Импликация высказываний (логическое следствие).

Импликацией высказываний А и В называют высказывание («если А, то В»), являющееся истинным всегда, кроме того случая, когда А – истинно, а В – ложно.

Отметим, что большинство теорем математики носят именно такой характер. При этом высказывание А (причина, посылка) называется достаточным для В, а высказывание В (следствие) – необходимым условием для А. Например, равенство углов является необходимым условием вертикальности углов, т.к., если углы вертикальны (высказывание А), то они равны (высказывание В), однако не всегда равные углы являются вертикальными, например, углы с соответственно параллельными сторонами.

Если в теореме поменять причину и следствие: , то получим так называемую обратную теорему. Например, из условия А: «треугольник прямоугольный» следует теорема Пифагора: .

5. Эквиваленция высказываний (логическая равносильность).

Эквиваленциейвысказываний А и В называют высказывание («А эквивалентно В»: «А только и только тогда, когда В», «для А необходимо и достаточно В») представляющую собой конъюнкцию двух взаимно обратных импликаций: . Например, необходимым и достаточным условием того, чтобы треугольник был прямоугольным, является условие .

Эквиваленция является истинной тогда и только тогда, когда оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Введенные выше операции можно формализовать, сведя принимаемые ими значения в следующую таблицу:

А В
И И Л И И И И
И Л Л Л И Л Л
Л И И Л И И Л
Л Л И Л Л И И

На самостоятельную работу предложить убедиться в том, что операция при всех логических значениях А и В принимает такие же значения, что и операция .

Эта таблица называется таблицей истинности логических операций. Ясно, что она может служить для формального определения операций над событиями.

Читайте также: