Какое высказывание не относится к понятию компланарности трех векторов
Обновлено: 27.09.2024
Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.
ПримечаниеДва любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.
Условия компланарности векторов
- Для 3-х векторов выполняется условие: если смешанное произведение 3-х векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
- Для 3-х векторов выполняется условие: если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
- Для n-векторов выполняется условие: если среди векторов не более 2-х линейно независимых векторов, то они компланарны.
Примеры решения задач на компланарность векторов
Исследуем на компланарность векторы
a ¯ = ( 1 ; 2 ; 3 ) , b = ( 1 ; 1 ; 1 ) и c ¯ = ( 1 ; 2 ; 1 )
Как решить?
Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:
( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 2 3 1 1 1 1 2 1 = = 1 × 1 × 1 + 1 × 2 × 3 + 2 × 1 × 1 - 1 × 1 × 3 - 2 × 1 × 1 - 1 × 2 × 1 = 2 ≠ 0
Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.
Ответ: векторы не являются компланарными.
Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать заданиеДокажем, что три вектора
a ¯ = ( 1 ; - 1 ; 2 ) , b = ( 0 ; 1 ; - 1 ) и c ¯ = ( 2 ; - 2 ; 4 ) компланарны.
Как решить?
Находим смешанное произведение данных векторов:
( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 - 1 2 0 1 - 1 2 - 2 4 = = 1 × 1 × 4 + 0 × ( - 2 ) × 2 + ( - 1 ) × ( - 1 ) × × 2 - 2 × 1 × 2 - ( - 2 ) × ( - 1 ) × 1 - 0 × ( - 1 )
Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.
Ответ: векторы являются компланарными.
Пример 3Проверим, компланарны ли векторы
Как решить?
Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:
1 1 1 1 2 0 0 - 1 1 3 3 3
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:
1 1 1 1 - 1 2 - 1 0 - 1 0 - 1 1 3 - 3 3 - 3 3 - 3
1 1 1 0 1 - 1 0 - 1 1 0 0 0
К 3-ей строке прибавляем 2-ю:
1 1 1 0 1 - 1 0 + 0 - 1 + 1 1 + ( - 1 ) 3 - 3 3 - 3 3 - 3
1 1 1 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0
Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.
Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.
Читайте также: