Какая операция равносильна выражению

Обновлено: 22.12.2024

Логические выра­жения, у которых последние столбцы таблиц истинности сов­падают, называются равносильными. Для обозначения равно­сильных логических выражений используется знак " center">

Теперь построим таблицу истинности логического выражения ¬(A ∨ B).

Значения в последних столбцах таблиц истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны:

¬А ∧ ¬В = ¬(A ∨ B)

Логические функции

В обыденной и научной речи кроме базовых логических связок «и», «или», «не» используются и некоторые другие: «если. то. », «. тогда и только тогда, когда. » и др. Не­которые из них имеют свое название и свой символ, и им со­ответствуют определенные логические функции.

Логическое следование (импликация)

Логическое следо­вание (импликация) образуется соединением двух высказы­ваний в одно с помощью оборота речи «если. то. ».

Логическая операция импликации «если А, то В», обо­значается А → В.
Составное высказывание, образованное с помо­щью операции логического следования (импли­кации), ложно тогда и только тогда, когда из ис­тинной предпосылки (первого высказывания) сле­дует ложный вывод (второе высказывание).

Таблица истинности логической функции "импликации"


Например, высказывание "Если число делится на 10, то оно делится на 5" истинно, так как истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе (вывод).
Высказывание "Если число делится на 10, то оно делится на 3" ложно, так как из истинной предпосылки делается ложный вывод.

Однако операция логического следования несколько от­личается от обычного понимания слова «следует». Если пер­вое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (выво­да) составное высказывание истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следо­вать что угодно.

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базо­вым: логическому умножению, логическому сложению и ло­гическому отрицанию.

Докажем методом сравнения таблиц истинности, что операция импликации А → В равносильна ло­гическому выражению ¬A ∨ B .

Таблица истинности логического выражения ¬A ∨ B

Таблицы истинности совпадают (т.е. значения в последних столбцах одинаковы), следовательно А → В = ¬A ∨ B.

Логическое равенство (эквивалентность)

Логическое равенство (эквивалентность). Логическое ра­венство (эквивалентность) образуется соединением двух вы­сказываний в одно с помощью оборота речи «. тогда и толь­ко тогда, когда . »

Л огическая операция эквивалентности «А тогда и только тогда, когда В» обозначается А

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Таблица истинности логической функции эквивалентности

Рассмотрим, например, два высказывания: А="Компьютер может производить вычисления" и В="Компьютер включен". Составное высказываение, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

"Компьютер может проводить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен".

"Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен".

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое ложно:

"Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен".

"Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен".

Докажем, используя таблицы истинности, что операция эквивалентности А

В равносильна логическому выражению: (A ∨ ¬ B) ∧ ( ¬ A ∨ B).

Таблица истинности функции (A ∨ ¬ B) ∧ ( ¬ A ∨ B)

Таблицы истинности совпадают (т.е. значения в последних столбцах одинаковы), следовательно А

Читайте также: