Как возвести в куб выражение

Обновлено: 21.11.2024

Сумма или разность двух выражений образует двучлен , который также называют биномом . Примеры биномов: x+y, $1+k^2,2mq^2-5z,100a-17b^2 c^3$ и т.д.

Формулы для квадрата и куба бинома мы уже получили в §21 и §23 данного справочника.

$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

$(a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3, \qquad (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$

Формулы для четвёртой и пятой степени бинома

Выведем формулы для 4-й степени:

$ = a(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 )+b(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 ) =$

$= a^4+3a^3 b+3a^2 b^2+ab^3+a^3 b+3a^2 b^2+3ab^3+b^4 =$

$= a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4$

Для разности в 4-й степени нужно только поменять знаки при нечётных степенях b.

$(a+b)^4 = a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4$

$(a-b)^4 = a^4-4a^3 b+6a^2 b^2-4ab^3+b^4$

Теперь выведем формулы для 5-й степени:

$(a+b)^5 = (a+b) (a+b)^4 = a(a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4 )+$

$= a^5+4a^4 b+6a^3 b^2+4a^2 b^3+ab^4+a^4 b+4a^3 b^2+6a^2 b^3+4ab^4+b^5 =$

$= a^5+5a^4 b+10a^3 b^2+10a^2 b^3+5ab^4+b^5$

Для разности в 5-й степени нужно только поменять знаки при нечётных степенях b.

$(a+b)^5 = a^5+5a^4 b+10a^3 b^2+10a^2 b^3+5ab^4+b^5$

$(a-b)^5 = a^5-5a^4 b+10a^3 b^2-10a^2 b^3+5ab^4-b^5$

Треугольник Паскаля

Коэффициенты при членах разложения биномов постепенно становятся больше. Их рост можно представить с помощью треугольника Паскаля.

$$(a \pm b)^1 = a \pm b$$ $$(a\pmb)^2 = a^2\pm2ab+b^2$$ $$(a\pmb)^3 = a^3\pm3a^2 b+3ab^2±b^3$$ $$(a\pmb)^4 = a^4\pm4a^3 b+6a^2 b^2\pm4ab^3+b^4$$ .

В этом треугольнике коэффициенты этажом ниже – это сумма соседних коэффициентов этажом выше; на рисунке каждая сумма обозначена знаком «+» между стрелочками.

Формула для n-ой степени бинома

Теперь для n-й степени бинома можем записать:

$$ (a + b)^n = a^n+C_1^n a^ b + C_2^n a^ b^2 + ⋯ + b^n $$

где $C_i^n$ - биномиальные коэффициенты , которые для небольших степеней можно найти с помощью треугольника Паскаля.

Формула для разности немного сложней:

$$ (a - b)^n = a^n-C_1^n a^ b + C_2^n a^ b^2 - C_3^n a^ b^3 +⋯+(-1)^n b^n $$

Биномиальные коэффициенты играют большую роль в современной математике. В общем случае для них есть расчётная формула, которую мы выучим позже.

В общем случае для них есть расчётная формула, которую мы выучим позже (см. §36 справочника для 9 класса)

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена:

Коэффициенты по треугольнику Паскаля: $1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$

Коэффициенты по модулю те же, знаки поменяются перед слагаемыми с нечётными степенями k:

Коэффициенты по треугольнику Паскаля: $1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1$

Коэффициенты по модулю те же, знаки поменяются перед слагаемыми с нечётными степенями b:

Читайте также: