Как упрощать вектора выражения
Обновлено: 04.11.2024
Тот факт, что вектор - это направленный отрезок, будет проще понять, остановившись на различиях между скалярными и векторными величинами.
В приведенной ниже таблице "Не векторы" - это скалярные величины или просто скаляры, а "Векторы" - векторные величины.
| Не векторы | Векторы |
| Масса | Сила тяжести |
| Длина | Путь |
| Время | Ускорение |
| Плотность | Давление |
| Температура | Скорость |
| Объем | |
| Площадь | |
| Модуль вектора |
Не векторы (скаляры) не имеют направления, а векторы имеют направление.
Вектор обязательно идёт от некоторой точки A по прямой к некоторой точке B. Числовое значение вектора - длина, а физическое и геометрическое - направление. Из этого и выводится первое, самое простое определение вектора. Итак, вектор - это направленный отрезок, идущий от точки A к точке B. Обозначается он так: .
А чтобы приступить к различным операциям с векторами, нам нужно познакомиться с ещё одним определением вектора.
Вектор - это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z) . Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.
Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.
Все остальные термины - это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.
Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.
Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец.
Если A - начало вектора, а B - его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)
Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка
Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.
В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. В курсе высшей математики векторы изучаются в разделе аналитической геометрии, где рассматриваются свободные векторы. Итак, если свободный вектор - это вектор, начало которого может быть в любой точке пространства, то все векторы одинакового направления и длины считаются равными.
Прежде чем Вы узнаете всё об операциях над векторами, настройтесь на решение несложной задачи. Есть вектор Вашей предприимчивости и вектор Ваших инновационных способностей. Вектор предприимчивости ведёт Вас к Цели 1, а вектор инновационных способностей - к Цели 2. Правила игры таковы, что Вы не можете двигаться сразу по направлениям двух этих векторов и достигнуть сразу двух целей. Векторы взаимодействуют, или, если говорить математическим языком, над векторами производится некоторая операция. Результатом этой операции становится вектор "Результат", который приводит Вас к Цели 3.
А теперь скажите: результатом какой операции над векторами "Предприимчивость" и "Инновационные способности" является вектор "Результат"? Если не можете сказать сразу, не унывайте. По мере изучения этого урока Вы сможете ответить на этот вопрос.
Линейные операции над геометрическими векторами
Умножение вектора на число
Произведением вектора на число называется вектор, получающийся из вектора растяжением (при ) или сжатием (при ) в раз, причём направление вектора сохраняется, если , и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)
Из определения следует, что векторы и = всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить "коллинеарны".) Справедливо и обратное утверждение: если векторы и коллинеарны, то они связаны отношением
Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.
Сложение и вычитание векторов
При сложении векторов нужно знать, что суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . (Рис. 3)
Это определение может быть распределено на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве даны n свободных векторов . При сложении нескольких векторов за их сумму принимают замыкающий вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец - с концом последнего вектора. То есть, если к концу вектора приложить начало вектора , а к концу вектора - начало вектора и т.д. и, наконец, к концу вектора - начало вектора , то суммой этих векторов служит замыкающий вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора , а конец - с концом последнего вектора . (Рис. 4)
Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило - правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.
При умножении вектора на число -1 получается противоположный вектор . Векторы и имеют одинаковые длины и противоположные направления. Их сумма даёт нулевой вектор, длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.
В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора вектор означает прибавить к вектору противоположный вектор , т.е.
Пример 1. Упростить выражение:
то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.
Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.
Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат - требуемые в условии задачи векторы:
Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах "Предприимчивость" и "Инновационные способности" в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится операция сложения.
Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 3. Даны векторы и . Построить на чертеже векторы
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
Пример 4. Даны векторы и . Построить на чертеже векторы
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
Как найти длину суммы векторов?
Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:
Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .
Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать - в уроке "Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов".
А где произведения векторов?
Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки "Скалярное произведение векторов" и "Векторное и смешанное произведения векторов".
Проекция вектора на ось
Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:
Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).
Пусть - произвольный вектор (Рис. 5), а и - проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.
Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец - с проекцией конца вектора .
Проекцией вектора на ось l называется число
равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.
Основные свойства проекций вектора на ось:
1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.
3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.
4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:
Пример 5. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l, если , а углы -
Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:
Находим окончательную проекцию суммы векторов:
Связь вектора с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве
В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.
С произвольной точкой М пространства свяжем вектор
называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:
Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).
Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через
Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz
Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:
Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.
После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме
Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.
Условие коллинеарности векторов в координатах
Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением
Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением
то есть, координаты векторов пропорциональны.
Пример 6. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?
Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:
Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.
Длина вектора и направляющие косинусы
Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора
равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах
и выражается равенством
Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.
Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке
а конец – в точке
или в координатной форме
Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид
Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам
Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким образом, орт вектора
Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть
получаем следующее равенство для направляющих косинусов:
Пример 7. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).
Решение. Длина вектора равна
Пример 8. Даны точки:
Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.
Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:
Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.
Пример 9. Найти длину вектора и его направляющие косинусы, если .
Решение. Координаты вектора даны:
Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:
Находим направляющие косинусы:
Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 10. Найти длину, направляющие косинусы и орт вектора , если , .
Операции над векторами, заданными в координатной форме
Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:
Укажем действия над этими векторами.
(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).
(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).
3.Умножение вектора на число:
(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).
Пример 11. Даны два вектора, заданные координатами:
Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: .
Пример 12. Даны четыре вектора:
Найти координаты векторов и .
Решить задачи на координаты векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 13. На плоскости даны векторы и . Найти координаты векторов , и .
Пример 14. Точка конца вектора - точка . Найти точку начала этого вектора.
n-мерные векторы и операции над ними
При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как "точки" некоторого абстрактного "n-мерного пространства", а сами числа - как "координаты" этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.
n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде
где - i – й элемент (или i – я координата) вектора x.
Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:
Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,
n – мерный вектор.
Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:
Введём операции над n-мерными векторами.
на действительное число называется вектор
(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).
можно получить противоположный вектор
(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).
Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж
продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .
Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:
Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:
При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:
Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.
Читайте также: