Как переписать подынтегральное выражение

Обновлено: 22.12.2024

Простейшие преобразования подынтегрального выражения

Многие интегралы легко вычисляются, если произвести простейшие преобразования, например, выделить целую часть, преобразовать тригонометрическое выражение и так далее. Поясним сказанное на примерах.
Примеры
1.
2.
3.

Пример . Найти неопределенный интеграл, используя метод разложения на простейшие дроби.
1.
Решение. Используем метод разложения на простейшие. Разложим функцию на простейшие слагаемые:

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х , стоящие слева и справа должны совпадать
x+2 = Ax(x-1) + B(x-1) + Cx 2
A + С = 0
-A + B = 1
-B = 2
Решая ее, находим:
A = -3;B = -2;C = 3;

Далее интегрируем дроби, используя стандартную таблицу интегрирования.

2.
Решение. 1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой
2.

x 5 + 1x 2 - 1
x 5 - x 3 x 3
x 3 + 1
3.
x 5 + 1x 2 - 1
x 5 - x 3 x 3 + x 2
x 3 + 1
x 3 - x
x + 1

Целая часть: x + 1
Остаток: x + 1
Далее интегрируем дроби, используя стандартную таблицу для интегралов.

Сложные дроби, в которых степень числителя больше степени знаменателя упрощаются посредством деления столбиком.

Читайте также: