Как переписать подынтегральное выражение
Обновлено: 28.09.2024
Простейшие преобразования подынтегрального выражения
Многие интегралы легко вычисляются, если произвести простейшие преобразования, например, выделить целую часть, преобразовать тригонометрическое выражение и так далее. Поясним сказанное на примерах.Примеры
1.
2.
3.
Пример . Найти неопределенный интеграл, используя метод разложения на простейшие дроби.
1.
Решение. Используем метод разложения на простейшие. Разложим функцию на простейшие слагаемые:
Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х , стоящие слева и справа должны совпадать
x+2 = Ax(x-1) + B(x-1) + Cx 2
A + С = 0
-A + B = 1
-B = 2
Решая ее, находим:
A = -3;B = -2;C = 3;
Далее интегрируем дроби, используя стандартную таблицу интегрирования.
2.
Решение. 1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой
2.
| x 5 + 1 | x 2 - 1 |
| x 5 - x 3 | x 3 |
| x 3 + 1 |
| x 5 + 1 | x 2 - 1 |
| x 5 - x 3 | x 3 + x 2 |
| x 3 + 1 | |
| x 3 - x | |
| x + 1 |
Целая часть: x + 1
Остаток: x + 1
Далее интегрируем дроби, используя стандартную таблицу для интегралов.
Сложные дроби, в которых степень числителя больше степени знаменателя упрощаются посредством деления столбиком.
Читайте также: