Иррациональные выражения и выражения
Обновлено: 22.12.2024
Статья раскрывает смысл иррациональных выражений и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.
Что такое иррациональные выражения?
При знакомстве с корнем в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.
Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.
Основываясь на данном определении, мы имеем, что x - 1 , 8 3 · 3 6 - 1 2 · 3 , 7 - 4 · 3 · ( 2 + 3 ) , 4 · a 2 d 5 : d 9 2 · a 3 5 - это все выражения иррационального типа.
При рассмотрении выражения x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 получаем, что выражение является рациональным. К рациональным выражениям относят многочлены и алгебраические дроби. Иррациональные включают в себя работу с логарифмическими выражениями или подкоренными выражениями.
Основные виды преобразований иррациональных выражений
При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ. Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.
Преобразовать выражение 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .
Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что
81 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3
Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим
9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 · 3 3 - 2 · 3 3 = = 8 + 3 · 3 3
Ответ: 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = 8 + 3 · 3 3
Представить выражение x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 в виде произведения двух иррациональных с использованием формул сокращенного умножения.
x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9
Представляем 9 в виде 3 2 , причем применим формулу разности квадратов:
x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 · x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 · x + 3 5 + 2
Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.
x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 · x + 3 5 + 2
Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.
Преобразование подкоренного выражения
Важно то, что выражение, находящееся под знаком корня, можно заменить на тождественно равное ему. Данное утверждение дает возможность работать с подкоренным выражением. К примеру, 1 + 6 можно заменить на 7 или 2 · a 5 4 - 6 на 2 · a 4 · a 4 - 6 . Они тождественно равные, поэтому замена имеет смысл.
Когда не существует а 1 , отличное от a , где справедливо неравенство вида a n = a 1 n , тогда такое равенство возможно только при а = а 1 . Значения таких выражений равны с любыми значениями переменных.
Использование свойств корней
Свойства корней применяют для упрощения выражений. Чтобы применить свойство a · b = a · b , где a ≥ 0 , b ≥ 0 , тогда из иррационального вида 1 + 3 · 12 можно стать тождественно равным 1 + 3 · 12 . Свойство . . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , где a ≥ 0 говорит о том, что x 2 + 4 4 3 можно записать в форме x 2 + 4 24 .
Имеются некоторые нюансы при преобразовании подкоренных выражений. Если имеется выражение, то - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 записать не можем, так как формула a b n = a n b n служит только для неотрицательного a и положительного b . Если свойство применить правильно, тогда получится выражение вида 7 4 81 4 .
Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.
Внесение множителя под знак корня
Определение 3Внести под знак корня – значит заменить выражение B · C n , а B и C являются некоторыми числами или выражениями, где n – натуральное число, которое больше 1 , равным выражением, которое имеет вид B n · C n или - B n · C n .
Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать заданиеЕсли упростить выражение вида 2 · x 3 , то после внесения под корень, получаем, что 2 3 · x 3 . Такие преобразования возможны только после подробного изучения правил внесения множителя под знак корня.
Вынесение множителя из-под знака корня
Если имеется выражение вида B n · C n , тогда его приводят к виду B · C n , где имеется нечетные n , которые принимают вид B · C n с четными n , В и C являются некоторыми числами и выражениями.
То есть, если брать иррациональное выражение вида 2 3 · x 3 , вынести множитель из-под корня, тогда получим выражение 2 · x 3 . Или x + 1 2 · 7 даст в результате выражение вида x + 1 · 7 , которое имеет еще одну запись в виде x + 1 · 7 .
Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.
Преобразование дробей, содержащих корни
Иррациональное выражение может быть как натуральным числом, так и в виде дроби. Для преобразования дробных выражений большое внимание обращают на его знаменатель. Если взять дробь вида ( 2 + 3 ) · x 4 x 2 + 5 3 , то числитель примет вид 5 · x 4 , а, использовав свойства корней, получим, что знаменатель станет x 2 + 5 6 . Исходную дробь можно будет записать в виде 5 · x 4 x 2 + 5 6 .
Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что
- x + 2 · x - 3 · x 2 + 7 4 = x + 2 · x - ( - 3 · x 2 + 7 4 ) = x + 2 · x 3 · x 2 - 7 4
Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что
3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 сокращаем на x + 4 3 - 1 . Получим выражение 3 · x x + 4 3 - 1 2 .
Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.
Если взять дробь вида 2 · x - y x + y , то необходимо вводить новые переменные u = x и v = x , тогда заданное выражение поменяет вид и станет 2 · u 2 - v 2 u + v . Числитель следует разложить на многочлены по формуле, тогда получим, что
2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · ( u - v ) · u + v u + v = 2 · u - v . После выполнения обратной замены придем к виду 2 · x - y , которое равно исходному.
Допускается приведение к новому знаменателю, тогда необходимо числитель умножать на дополнительный множитель. Если взять дробь вида x 3 - 1 0 , 5 · x , тогда приведем к знаменателю x . для этого нужно умножить числитель и знаменатель на выражение 2 · x , тогда получаем выражение x 3 - 1 0 , 5 · x = 2 · x · x 3 - 1 0 , 5 · x · 2 · x = 2 · x · x 3 - 1 x .
Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.
Избавление от иррациональности в знаменателе
Когда выражение избавляется от корня в знаменателе путем преобразования, то это называется избавлением от иррациональности. Рассмотрим на примере дроби вида x 3 3 . После избавления от иррациональности получаем новую дробь вида 9 3 · x 3 .
Переход от корней к степеням
Переходы от корней к степеням необходимы для быстрого преобразования иррациональных выражений. Если рассмотреть равенство a m n = a m n , то видно, что его использование возможно, когда a является положительным числом, m –целым числом, а n – натуральным. Если рассматривать выражение 5 - 2 3 , то иначе имеем право записать его как 5 - 2 3 . Эти выражения равнозначны.
Когда под корнем имеется отрицательное число или число с переменными, тогда формула a m n = a m n не всегда применима. Если нужно заменить такие корни ( - 8 ) 3 5 и ( - 16 ) 2 4 степенями, тогда получаем, что - 8 3 5 и - 16 2 4 по формуле a m n = a m n не работаем с отрицательными а. для того, чтобы подробно разобрать тему подкоренных выражений и их упрощений, необходимо изучать статью о переходе от корней к степеням и обратно. Следует помнить о том, что формула a m n = a m n применима не для всех выражений такого вида. Избавление от иррациональности способствует дальнейшему упрощению выражения, его преобразованию и решению.
Читайте также: