Интегрирование иррациональных выражений теория
Обновлено: 21.11.2024
Под иррациональным понимают выражение, в котором независимая переменная %%x%% или многочлен %%P_n(x)%% степени %%n \in \mathbb%% входят под знак радикала (от латинского radix — корень), т.е. возводятся в дробную степень. Некоторые классы иррациональных относительно %%x%% подынтегральных выражений заменой переменной удается свести к рациональным выражениям относительно новой переменной.
Понятие рациональной функции одной переменной можно распространить на несколько аргументов. Если над каждым аргументом %%u, v, \dotsc, w%% при вычислении значения функции предусмотрены лишь арифметические действия и возведение в целую степень, то говорят о рациональной функции этих аргументов, которую обычно обозначают %%R(u, v, \dotsc, w)%%. Аргументы такой функции сами могут быть функциями независимой перменной %%x%%, в том числе и радикалами вида %%\sqrt[n], n \in \mathbb%%. Например, рациональная функция $$ R(u,v,w) = \frac $$ при %%u = x, v = \sqrt[3]%% и %%w = \sqrt%% является рациональной функцией $$ R\left(x, \sqrt[3], \sqrt\right) = \frac><\sqrt> = f(x) $$ от %%x%% и радикалов %%\sqrt[3]%% и %%\sqrt%%, тогда как функция %%f(x)%% будет иррациональной (алгебраической) функцией одной независимой переменной %%x%%.
Рассмотрим интегралы вида %%\int R(x, \sqrt[n]) \mathrmx%%. Такие интегралы рационалируются заменой переменной %%t = \sqrt[n]%%, тогда %%x = t^n, \mathrmx = nt^%%.
Пример 1
Подынтегральная функция искомого аргумента записана как функция от радикалов степени %%2%% и %%3%%. Так как наименьшее общее кратное чисел %%2%% и %%3%% равно %%6%%, то данный интеграл является интегралом типа %%\int R(x, \sqrt[6]) \mathrmx%% и может быть рационализирован посредством замены %%\sqrt[6] = t%%. Тогда %%x = t^6, \mathrmx = 6t \mathrmt, \sqrt = t^3, \sqrt[3] =t^2%%. Следовательно, $$ \int \frac<\mathrmx> <\sqrt+ \sqrt[3]> = \int \frac<6t^5 \mathrmt> = 6\int\frac\mathrmt. $$ Примем %%t + 1 = z, \mathrmt = \mathrmz, z = t + 1 = \sqrt[6] + 1%% и $$ \begin \int \frac<\mathrmx> <\sqrt+ \sqrt[3]> &= 6\int\frac \mathrmt = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrmz + 18\int \mathrmz -6\int\frac<\mathrmz> = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt[6] + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt[6] + 1\right)^2 + \\ &+
18 \left(\sqrt[6] + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt[6] + 1\right| + C \end $$
Интегралы вида %%\int R(x, \sqrt[n]) \mathrmx%% являются частным случаем дробно линейных иррациональностей, т.е. интегралов вида %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n]>\right) \mathrmx%%, где %%ad - bc \neq 0%%, которые допускают рационализацию путем замены переменной %%t = \sqrt[n]>%%, тогда %%x = \dfrac%%. Тогда $$ \mathrmx = \frac(ad - bc)><\left(a - ct^n\right)^2>\mathrmt. $$
Пример 2
Рассмотрим интегралы вида %%\int R\left(x, \sqrt\right) \mathrmx%%. В простейших случаях такие интегралы сводятся к табличным, если после выделения полного квадрата сделать замену переменных.
Пример 3
Учитывая, что %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, примем %%t = x + 2, \mathrmx = \mathrmt%%, тогда $$ \begin \int \frac<\mathrmx>> &= \int \frac<\mathrmt>> = \\ &= \ln\left|t + \sqrt\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt\right| + C. \end $$
В более сложных случаях для нахождения интегралов вида %%\int R\left(x, \sqrt\right) \mathrmx%% используются подстановки Эйлера.
Читайте также: