И бесконечно малые величины расставьте пары высказываний так чтобы получились верные определения
Обновлено: 04.11.2024
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Установим следующее важное соотношение:
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если и , то .
Следствие 2. Если и c=const, то .
Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ
Можно доказать и обратную теорему.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
Смысл этой теоремы понятен из рисунка.
Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М.: Наука, 1985.
ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что xпринимает только значения, меньшие a, то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.
Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.
-
Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следующим образом
ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ
Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.
характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов.
Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.
I. Неопределенность .
При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x=1 является корнем многочлена x 3 – 6x 2 + 11x– 6, то при делении получим
II. Неопределенность .
При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени.
При вычислении предела воспользовались равенством ,если x<0.
Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев или .
Читайте также: