Групповая скорость волны определяется выражением

Обновлено: 04.11.2024

Если свойства среды не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения волн) при распространении в такой среде нескольких волн, каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений частиц.

Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность «горбов» и «впадин».

(5.4.1)

Фазовая скорость этой волны

или .

С помощью такой волны нельзя передавать сигнал, так как в любой точке волны все «горбы» одинаковы. Сигнал должен отличаться, быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет описываться уравнением (5.4.1).

Сигнал (импульс) можно представить (согласно теореме Фурье) в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключенными в некотором интервале . Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом или группой волн (рис. 5.2).

Выражение для группы волн:

(5.4.2)

Этот волновой пакет может быть суммой двух волн с мало отличающимися частотами (рис. 5.3).

Там, где фазы совпадают, наблюдается усиление амплитуды, где нет – гашение (результат интерференции).

Чтобы суперпозицию можно было считать группой волн, необходимо условие .

Дисперсия – это зависимость фазовой скорости в среде от частоты.

В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью υ. Очевидно, что в данном случае скорость перемещения пакета совпадает со скоростью υ. В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью, пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается. Если дисперсия невелика, то расплывание не происходит слишком быстро и пакету можно приписать скорость u (рис. 5.4).

Скорость, с которой перемещается центр пакета (точка с максимальным значением А), называется групповой скоростью u.

В диспергирующей среде . Вместе с движением самого пакета происходит движение «горбов» внутри пакета. «Горбы» перемещаются со скоростью υ, а пакет в целом с u.

Рассмотрим это подробнее на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными длинами волн l.

Уравнения волн (при начальной фазе ) можно записать так:

и ,

здесь ; , т.к. .

Пусть , соответственно .

Сложим колебания, применив преобразования для суммы косинусов:

(5.4.3)

, т.к. , то

(5.4.4)

Множитель в квадратных скобках изменяется с изменением t и x значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (5.4.4) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой

Результирующая амплитуда получается в результате сложения, следовательно будут максимумы и минимумы амплитуды. Максимум амплитуды будет определяться условием

где m = 0, 1, 2, …, x_max – координата максимума амплитуды.

Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн. Решив это уравнение относительно x_max, получим:

; (2mp = const).

Так как – фазовая скорость, то – групповая скорость. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды. В пределе выражение для групповой скорости:

(5.4.5)

Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн. Выражению для групповой скорости можно придать другой вид. Т.к , следовательно

Выразим через длину волны l:

; ; ,

, тогда получим

(5.4.6)

Из этой формулы следует, что в диспергирующей среде, в зависимости от знака , групповая скорость может быть больше или меньше фазовой.

В отсутствие дисперсии и . Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.

Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение энергии волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Это случай из области аномальной дисперсии (рассмотрим позже).

Читайте также: