|
Этот волновой пакет может быть суммой двух волн с мало отличающимися частотами (рис. 5.3).
Там, где фазы совпадают, наблюдается усиление амплитуды, где нет – гашение (результат интерференции).
Чтобы суперпозицию можно было считать группой волн, необходимо условие .
Дисперсия – это зависимость фазовой скорости в среде от частоты.
В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью υ. Очевидно, что в данном случае скорость перемещения пакета совпадает со скоростью υ. В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью, пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается. Если дисперсия невелика, то расплывание не происходит слишком быстро и пакету можно приписать скорость u (рис. 5.4).
Скорость, с которой перемещается центр пакета (точка с максимальным значением А), называется групповой скоростью u.
В диспергирующей среде . Вместе с движением самого пакета происходит движение «горбов» внутри пакета. «Горбы» перемещаются со скоростью υ, а пакет в целом с u.
Рассмотрим это подробнее на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными длинами волн l.
Уравнения волн (при начальной фазе ) можно записать так:
и ,
здесь ; , т.к. .
Пусть , соответственно .
Сложим колебания, применив преобразования для суммы косинусов:
|
, т.к. , то
|
Множитель в квадратных скобках изменяется с изменением t и x значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (5.4.4) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой
.
Результирующая амплитуда получается в результате сложения, следовательно будут максимумы и минимумы амплитуды. Максимум амплитуды будет определяться условием
,
где m = 0, 1, 2, …, xmax – координата максимума амплитуды.
Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн. Решив это уравнение относительно xmax, получим:
; (2mp = const).
Так как – фазовая скорость, то – групповая скорость. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды. В пределе выражение для групповой скорости:
|
Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн. Выражению для групповой скорости можно придать другой вид. Т.к , следовательно
.
Выразим через длину волны l:
; ; ,
, тогда получим
|
Из этой формулы следует, что в диспергирующей среде, в зависимости от знака , групповая скорость может быть больше или меньше фазовой.
В отсутствие дисперсии и . Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.
Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение энергии волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Это случай из области аномальной дисперсии (рассмотрим позже).
Читайте также:
| | | | |
