Если основание логарифма меньше 1 а подлогарифмическое выражение больше 1 то значение логарифма
Обновлено: 05.07.2024
Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.
Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1' alt='b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1' />.
Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:
0,\;a> 0,\;a\neq 1' alt='b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1' />.
Основное логарифмическое тождество:
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.
Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.
Простейшие логарифмические уравнения
1.Решите уравнение:
Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.
Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1' alt='b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1' />.
Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.
2. Решите уравнение:
В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.
3. Решите уравнение:
Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.
4. Решите уравнение:
Область допустимых значений: 0.' alt='4+x> 0.' /> Значит, -4.' alt='x> -4.' />
Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.
Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4' alt='x> -4' />.
5. Решите уравнение:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
0\\ x^-4> 0\\ x^+x=x^-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^+x> 0\\ x^-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4' alt='\log _\left ( x^+x \right )=\log _\left ( x^-4 \right )\Leftrightarrow \left\ <\beginx^+x> 0\\ x^-4> 0\\ x^+x=x^-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^+x> 0\\ x^-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4' />
Ответ: –4.
Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.
6.Решите уравнение: .
Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _\left ( 4x+5 \right )> \right )^>=9\\ x> -1\frac \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^>=9\\ x> -1\frac \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt=9\\ x> -1\frac \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac \end\right.' alt='2^<\log _\left ( 4x+5 \right )>=9\Leftrightarrow \left\ <\begin2^\frac<<\log _\left ( 4x+5 \right )>>=9\\ 4x+5> 0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _\left ( 4x+5 \right )> \right )^>=9\\ x> -1\frac \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^>=9\\ x> -1\frac \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt=9\\ x> -1\frac \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac \end\right.' />
7.Решите уравнение: .
Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.
ОДЗ:
0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.' alt='\left\ <\begin12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.' />
Теперь можно «убрать» логарифмы.
— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0' alt='x> 0' />.
8. Решите уравнение .
ОДЗ уравнения: 0' alt='x> 0' />
Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.
Вернемся к переменной х:
9.Решите уравнение:
Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.
Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.
Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену
Вернемся к переменной х. Получим:
. Мы нашли все корни исходного уравнения.
Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.
Это полезно
Вес и масса. Есть ли разница?С точки зрения физики — это абсолютно разные понятия. И даже единицы измерения у них совершенно разные. Хотя многим кажется, что это одно и то же, но это не так.
Читайте также: