Энергия заряженного проводника определяется выражением
Обновлено: 22.12.2024
Так как в проводниках статический заряд распределен только по поверхностям, потенциал вдоль которых не меняется, то энергия такой системы [см. (23.3)] равна
где и -соответственно потенциал и заряд проводника. Решив основную задачу электростатики, т. е. найдя распределение потенциала в окружающем пространстве, всегда можно,
согласно (22.7), вычислить заряды проводников. В то же время, по теореме единственности (см. § 22), функция однозначно определяется потенциалами проводников Поэтому и заряды проводников некоторые однозначные функции всех потенциалов Из-за линейности уравнений поля (22.4) эти функции могут быть только линейными. Поэтому должна существовать связь вида
Постоянные коэффициенты называются емкостными коэффициентами системы проводников, а — потенциальными коэффициентами. При этом коэффициенты С и называют собственными емкостями, при коэффициентами взаимной емкости или коэффициентами электростатической индукции.
Из (24.5) следует, что поэтому [см. (24.4)] тогда как Последнее обстоятельство является выражением того простого факта, что на проводниках всегда наводятся заряды противоположного знака. В самом деле, если заземлить все проводники, кроме то наведенный на проводнике заряд [см. (24.2)] равен Но если то очевидно, что собственный заряд проводника тогда как наведенные заряды при
Наконец, из (24.5) с учетом связи вытекает, что коэффициенты симметричны, т. е. Поэтому симметричными являются и емкостные коэффициенты:
(соотношение взаимности). Его часто формулируют в виде теоремы взаимности Грина, смысл которой состоит в следующем.
Рассмотрим два состояния одной и той же системы проводников. Пусть в одном из них заряды и потенциалы проводников а в другом Тогда, используя (24.2) и (24.6), имеем
Это и есть теорема взаимности Грина. Для одиночного проводника
где С — собственная емкость проводника. В частности, для металлического шарика радиуса а, находящегося в однородном диэлектрике с проницаемостью в и несущего заряд получаем т.е. В случае двух проводников, несущих равные и противоположные заряды
Такая система проводников обычно называется конденсатором, а коэффициент С — его емкостью.
Если обкладки конденсатора расположены очень близко друг от друга, то в соответствии с (24.5) имеем так что приближенно можно считать тогда как Таким образом, согласно (24.10), емкость конденсатора примерно равна
Выразим теперь энергию системы заряженных проводников через их потенциалы или заряды. Подставляя в (24.1) последовательно (24.2) и (24.3), находим
Отсюда следует еще одно явно симметричное представление для емкостных и потенциальных коэффициентов:
Из условия положительности квадратичной формы (24.11) получаем полезные неравенства
Читайте также: