Для чего нужна логика высказываний

Обновлено: 04.11.2024

Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений [1] .

Содержание

Основные понятия

Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, и (пропозициональная) формула, определяемой индуктивно следующим образом [2] :

Знаки и (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками. Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.

Правила построения формул логики высказываний

Теперь, зная буквы-элементарные высказывания, мы никогда не ошибёмся, определяя, является ли формулой запись, содержащая эти буквы, скобки и символы связок, то есть правильно ли построено сложное высказывание. В процессе подобного опознавания мы выделяем части формулы, то есть более короткие формулы, из которых на каждом этапе строится более длинная формула с применением одной связки. Самыми простыми частями формулы являются, разумеется, элементарные высказывания. Значит, логический анализ формулы сводится к выделению всех её частей.

Пример

Пусть элементарными высказываниями являются А, В, С. Записи

¬ A BC и (B)(BA→C)

c формальной точки зрения не являются формулами, так как мы натыкаемся при их разборе на нарушение правил построения формул. (В первом случае отсутствует логическая связка между B и C и отсутствуют скобки вокруг ¬A. Во втором случае формула нулевого уровня В включена в скобки). А записи

(¬ A)(BC) и B((BA)→C)

вполне соответствуют требованиям построения формулы. В процессе анализа формулы (¬ A)(BC) выделяются следующие её части:

Соглашения о скобках

Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, математики приняли соглашения о скобках, по которым некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются так:

Если опущены внешние скобки, то они восстанавливаются.
Если рядом стоят две конъюнкции или дизъюнкции (например, ), то в скобки заключается сначала самая левая часть (т.е. две подформулы со связкой между ними). (Говорят также, что эти связки левоассоциативны.)
Если рядом стоят разные связки, то скобки расставляются согласно приоритетам: и (от высшего к низшему).

Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.

Например: запись означает формулу , а её длина равна 12.

Истинностное значение

Интерпретацией (моделью) языка логики высказываний называется функция из множества всех пропозициональных переменных в множество истинностных значений . Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если даны истинностные значения входящих в неё переменных. Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок [3] .

$\neg p$

Оценка отрицания задаётся таблицей:

$p\!$	$\neg p$
$0\!$	$1\!$
$1\!$	$0\!$

Значение двуместных логических связок (импликация), (дизъюнкция) и (конъюнкция) определяются так:

$p\!$	$q\!$	$p\rightarrow q$	$p \wedge q$	$p \vee q$

Тождественно истинные формулы (тавтологии)

Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных (то есть, при любой интерпретации) [4] . Вот несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:

$\neg (p \vee q) \leftrightarrow (\neg p \wedge \neg q)$

1) ;

$\neg (p \wedge q) \leftrightarrow (\neg p \vee \neg q)$

2) ;

$(p\rightarrow q)\leftrightarrow(\neg q\rightarrow \neg p)$

;

Законы поглощения:

$p\vee(p\wedge q)\leftrightarrow p$

1) ;

$p\wedge(p\vee q)\leftrightarrow p$

2) ;

$p\wedge(q\vee r)\leftrightarrow(p\wedge q)\vee(p \wedge r)$

1) ;

$p\vee(q\wedge r)\leftrightarrow(p\vee q)\wedge(p \vee r)$

2) .

Исчисление высказываний

Одним из возможных вариантов (Гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:

вместе с единственным правилом:

$\frac<A \rightarrow B, A></p> <p>$
(Modus ponens)

Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.

Читайте также: