Дискретная математика логика высказываний
Обновлено: 05.07.2024
Правила математической логики определяют методы обоснования математических утверждений. Греческий философ Аристотель был пионером логических рассуждений. Логические рассуждения обеспечивают теоретическую основу для многих областей математики и, следовательно, информатики. Он имеет множество практических приложений в области компьютерных наук, таких как проектирование вычислительных машин, искусственный интеллект, определение структур данных для языков программирования и т. Д.
Логика высказываний связана с утверждениями, которым могут быть присвоены значения истинности «истина» и «ложь». Цель состоит в том, чтобы проанализировать эти утверждения по отдельности или в совокупности.
«А меньше 2». Это потому, что если мы не дадим конкретное значение A, мы не сможем сказать, является ли утверждение истинным или ложным.
«А меньше 2». Это потому, что если мы не дадим конкретное значение A, мы не сможем сказать, является ли утверждение истинным или ложным.
Связки
В логике высказываний мы обычно используем пять связок, которые:
Отрицание / НЕ ( l n o t )
Импликация / если-тогда ( r i g h t a r r o w )
Если и только если ( L e f t r i g h t a r r o w ).
Отрицание / НЕ ( l n o t )
Импликация / если-тогда ( r i g h t a r r o w )
Если и только если ( L e f t r i g h t a r r o w ).
| В | A ∨ B | |
|---|---|---|
| Правда | Правда | Правда |
| Правда | Ложь | Правда |
| Ложь | Правда | Правда |
| Ложь | Ложь | Ложь |
| В | A ∧ B | |
|---|---|---|
| Правда | Правда | Правда |
| Правда | Ложь | Ложь |
| Ложь | Правда | Ложь |
| Ложь | Ложь | Ложь |
| ¬ A | |
|---|---|
| Правда | Ложь |
| Ложь | Правда |
| В | A → B | |
|---|---|---|
| Правда | Правда | Правда |
| Правда | Ложь | Ложь |
| Ложь | Правда | Правда |
| Ложь | Ложь | Правда |
| В | A ⇔ B | |
|---|---|---|
| Правда | Правда | Правда |
| Правда | Ложь | Ложь |
| Ложь | Правда | Ложь |
| Ложь | Ложь | Правда |
Тавтологии
Противоречия
| В | A ∨ B | ¬ A | ¬ B | (¬ A) ∧ (¬ B) | (A ∨ B) ∧ [(¬ A) ∧ (¬ B)] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Правда | Правда | Правда | Ложь | Ложь | Ложь | Ложь |
| Правда | Ложь | Правда | Ложь | Правда | Ложь | Ложь |
| Ложь | Правда | Правда | Правда | Ложь | Ложь | Ложь |
| Ложь | Ложь | Ложь | Правда | Правда | Правда | Ложь |
Как мы видим, каждое значение ( A l o r B ) l a n d l b r a c k ( l n o t A ) l a n d ( l n o t B ) r b r a c k равно «False», это противоречие.
непредвиденные обстоятельства
| В | A ∨ B | ¬ A | (A ∨ B) ∧ (¬ A) | |
|---|---|---|---|---|
| Правда | Правда | Правда | Ложь | Ложь |
| Правда | Ложь | Правда | Ложь | Ложь |
| Ложь | Правда | Правда | Правда | Правда |
| Ложь | Ложь | Ложь | Правда | Ложь |
Как мы видим, каждое значение ( A l o r B ) l a n d ( l n o t A ) имеет «True» и «False», это непредвиденное обстоятельство.
Пропозициональные эквивалентности
Два утверждения X и Y логически эквивалентны, если выполняется любое из следующих двух условий:
Таблицы истинности каждого утверждения имеют одинаковые значения истинности.
Двухусловное утверждение X L e f t r i g h t a r r o w Y является тавтологией.
Таблицы истинности каждого утверждения имеют одинаковые значения истинности.
Двухусловное утверждение X L e f t r i g h t a r r o w Y является тавтологией.
Тестирование по 1- му методу (таблица соответствия)
| В | A ∨ B | ¬ (A ∨ B) | ¬ A | ¬ B | [(¬ A) ∧ (¬ B)] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Правда | Правда | Правда | Ложь | Ложь | Ложь | Ложь |
| Правда | Ложь | Правда | Ложь | Ложь | Правда | Ложь |
| Ложь | Правда | Правда | Ложь | Правда | Ложь | Ложь |
| Ложь | Ложь | Ложь | Правда | Правда | Правда | Правда |
Здесь мы видим, что значения истинности l n o t ( A l o r B ) и l b r a c k ( l n o t A ) l a n d ( l n o t B ) r b r a c k совпадают, поэтому утверждения эквивалентны.
Тестирование по 2- му методу (би-условность)
| В | ¬ (A ∨ B) | [(¬ A) ∧ (¬ B)] | [¬ (A ∨ B)] ⇔ [(¬ A) ∧ (¬ B)] | |
|---|---|---|---|---|
| Правда | Правда | Ложь | Ложь | Правда |
| Правда | Ложь | Ложь | Ложь | Правда |
| Ложь | Правда | Ложь | Ложь | Правда |
| Ложь | Ложь | Правда | Правда | Правда |
Поскольку l b r a c k l n o t ( A l o r B ) r b r a c k L e f t r i g h t a r r o w l b r a c k ( l n o t A ) l a n d ( l n o t B ) r b r a c k является тавтологией, утверждения эквивалентны.
Обратное, Обратное и Противоположительное
Как упоминалось ранее, он обозначается как p r i g h t a r r o w q .
Обратное . Обратным условным утверждением является отрицание как гипотезы, так и заключения. Если утверждение «Если р, то q», обратное будет «Если не р, то не q». Таким образом, обратное значение p r i g h t a r r o w q равно l n o t p r i g h t a r r o w l n o t q .
Принцип двойственности
Принцип двойственности гласит, что для любого истинного утверждения двойственное утверждение, полученное путем взаимного объединения союзов в пересечения (и наоборот) и взаимного изменения универсального множества в нулевое множество (и наоборот), также верно. Если дуальным каким-либо утверждением является само утверждение, оно называется самодвойственным утверждением.
Нормальные Формы
- Конъюнктивная нормальная форма
- Дизъюнктивная нормальная форма
Конъюнктивная нормальная форма
Составной оператор находится в конъюнктивной нормальной форме, если он получен путем операции И среди переменных (включая отрицание переменных), связанных с ИЛИ. С точки зрения операций над множествами, это составное утверждение, полученное Intersection среди переменных, связанных с Unions.
( A l o r B ) з е м л я ( A l o r C ) з е м л я ( B l o r C l o r D )
( P c u p Q ) c a p ( Q c u p R )
( A l o r B ) з е м л я ( A l o r C ) з е м л я ( B l o r C l o r D )
( P c u p Q ) c a p ( Q c u p R )
Дизъюнктивная нормальная форма
Составной оператор находится в конъюнктивной нормальной форме, если он получен путем операции ИЛИ среди переменных (включая отрицание переменных), связанных с AND. С точки зрения операций над множествами, это составное утверждение, полученное объединением среди переменных, связанных с пересечениями.
Читайте также: