Что такое эквивалентное выражение
Обновлено: 04.11.2024
Мы постоянно имеем дело с разными высказываниями. Иногда они совершенно простые: «корова», «дождь», «холодно». Иногда высказывание чуть посложнее: «корова мычит», «все вороны чёрные», «если пойдёт дождь, я возьму зонтик».
И далеко не всегда понятно, что одна фраза логически эквивалентна другой.
Пабло Пикассо. Натюрморт, 1918 Пабло Пикассо. Натюрморт, 1918О чём речь?
Речь идёт про логическую эквивалентность. Её ещё называют логическая равнозначность, или эквиваленция. Это логическое выражение, указывающее, что два высказывания всегда одинаково истинны или одинаково ложны. Обозначается ≡, ↔ или ⇔ . Означает: Х тогда и только тогда, когда Y.
Записывается X ⇔ Y, X ↔ Y или X ≡ Y.
Таблица истинности для логической эквивалентности (0 обозначает ложь, 1 — истину) Таблица истинности для логической эквивалентности (0 обозначает ложь, 1 — истину)Пример использования
Возьмём выражение и попробуем найти для него эквивалентное.
X — « Если пойдёт дождь, то я возьму зонтик ».
Разобьём выражение на две части, связанных следствием (импликацией):
A — «пойдёт дождь»;
B — «я возьму зонтик»;
Какая из фраз будет логически эквивалентна фразе X?
Y — «Если я не возьму зонтик, то дождь не пойдёт». ¬B → ¬A
Z — «Если дождь не пойдёт, то я не возьму зонтик». ¬A → ¬B
Может интуитивно показаться, что X ↔ Z. Но так ли это?
Давайте снова обратимся к таблицам истинности и аккуратно подсчитаем значения всех выражений:
Таблица истинности для выражений A → B, ¬B → ¬A, ¬A → ¬B Таблица истинности для выражений A → B, ¬B → ¬A, ¬A → ¬BПолучается, что логически эквивалентным выражению « Если пойдёт дождь, то я возьму зонтик » будет выражение « Если я не возьму зонтик, то дождь не пойдёт ».
Парадокс ворона
Иногда логическая эквивалентность приводит к неожиданным результатам. Допустим, к такому утверждению: чтобы доказать, что все вороны чёрные, нужно проверить все нечёрные предметы . Если среди нечёрных предметов нет ни одного ворона, то все вороны действительно чёрные. Но разве наша убеждённость в том, что все вороны чёрные, возрастает, когда мы видим пегую лошадь или красное яблоко?
Об этом парадоксе писал ещё Гемпель. На нашем канале мы тоже разбирали этот парадокс : логического противоречия в нём нет, а наша убеждённость вполне соответствует статистическому объяснению с помощью теоремы Байеса.
Читайте также: