Аналитическое выражение закона гука
Обновлено: 04.07.2024
Обычно при изучении закон Гука не вызывает особых сложностей. Запомнить, что деформация в упругом теле пропорциональна приложенной к нему силе , совсем не сложно.
Чаще всего, этого знания вполне достаточно для школьного курса, чтобы забыть про Гука навсегда :). Чтобы он лучше запомнился, глянем на портрет.
Однако, если вы изучаете физику по углубленной программе или если ваш преподаватель хочет добиться демонстрации понимания этого закона на более высоком уровне, то сказанного явно недостаточно. Кроме того, при поступлении в технический институт, знаний этих тоже мало. Ведь на законе Гука держится великий и ужасный сопромат ! Да и при изучении механики - это один из самых важных законов .
Давайте изложим основные постулаты Гука в простой и понятной читателю форме, ну а если вопросы останутся - пишем их в комментариях или в личку.
Введение и основные понятия
Наверняка вы в детстве играли с такой штукой, которая называется лук со стрелами. Принцип работы этого устройства очень прост. Есть согнутая палка, чаще всего из ивы, и есть тетива, которая связывает концы палки. Когда мы натягиваем тетиву стрелой, то сила упругости палки заставляет её возвращаться к прежнему состоянию и передавать энергию стреле.
Как вы догадываетесь, ключевое слово тут - сила упругости . Это такая сила, которая возникает в теле при попытке это тело согнуть или изменить его форму, то есть деформировать. Кстати, про силу полезно прочитать вот это . Обусловлена она внутренним взаимодействием частичек.
И тут тоже появилось новое слово - деформация. Думаю, пояснять что это такое, не нужно.
А вот сказать, что деформация бывает обратимая (упругая) и необратимая , важно. Ведь закон Гука работает в случаях существования упругой деформации.
Упругая деформация - это такая деформация, после которой тело возвращается к своим первоначальным геометрическим характеристикам, после снятия внешнего воздействия.
Простейшие виды деформации - это растяжение и сжатие. Сразу вспоминаем пружину. Ну и в учебнике физики вы как раз-таки встретите закон Гука, который раскрывается на примере пружины.
Формулировка закона Гука
Формулируется закон так:
Деформация, возникающая в упругом теле, пропорциональна приложенной к этому телу силе.
Если записывать его в виде формулы, то имеем следующее:
F = -kx ,
где F - сила упругости в теле, k - коэффициент упругости или жесткости, x - линейное изменение размеров тела.
Почему тут минус ? Да его можно и не писать, если понимать логику. Вспоминаем, что сила есть вектор. Так как сила, возникающая в теле, противонаправлена силе приложенной, то формула записывается с минусом.
Иногда вместо k или x используют другие обозначения, но смысл от этого не меняется.
Разбираемся с новыми буквами
У нас появилась сила упругости в теле . Именно она в формуле - это F. Вспоминаем, что по третьему закону Ньютона (обязательно читаем) , она равна силе или векторной сумме сил, воздействующей на тело. Мы считаем именно эту силу. Поэтому, если, скажем, предстоит решить задачу, где книга лежит на столе, а стол гнется, то мы считаем, что сила упругости в столе, равна нашему любимому m*g, так как книга притягивается к полу и вызывает изгиб стола .
k - это жесткость тела . Зависит она от материала и характеристик тела. Очевидно, что деревянная доска и железная труба будут иметь разные жесткости .
Стоит отметить, что это величина расчётная , но в начале изучения вы будете брать её из табличек и считать константой. А вот дальше нужно будет вспомнить/изучить, такую штуку, как модуль упругости первого рода или модуль Юнга . Это уже основы сопротивления материалов и начнется "О Боже, профессор нинада!")
х - это линейное удлинение. Считается очень просто. Сколько стало минус сколько было :). В сложных случаях считается тоже посложнее, но нужны просто знания геометрии.
Новые важные понятия и обобщенный закон Гука
Про обобщенный закон Гука следует написать отдельную статью. Здесь же отмечу, что искушенный читатель наверняка заметил - пока речь идёт только об одноосном деформировании . Мы работаем с пружиной, которую можно растянуть вдоль оси икс или сжать вдоль оси икс. А что, если пружина будет растягиваться и сгибаться одновременно.
Реальные тела обычно деформируются во все стороны. В дело вступают сразу три направления.
В этом случае нужно использовать обобщенный закон Гука . Используются так называемые тензоры. Это большая тема, а тут отметим, что если вас вдруг спросили, а какие ограничения есть у стандартного закона Гука, то обязательно не забудьте сказать, что деформация должна происходить вдоль одной оси.
Ещё при разговоре об ограничениях выполнения закона стоит отметить про предел пропорциональности . Это максимальное механическое нагружение, до которого выполняется закон Гука . Смотрим на график. По оси Ыгрик у нас отложено механическое напряжение (читай как сила для упрощения), а по оси Ыкс - изменение размеров. Пока у нас есть линейная зависимость, отмеченная красной прямой линией, закон Гука будет выполняться.
Все тела ведут себя по разному и при достижении точки А одни тела развалятся/сломаются, а другие необратимо удлинятся/сожмутся. В конкретном примере тело расслюнявило, но оно не сломалось. Связь между силой и деформацией стала нелинейной .
Закон Гука выполняется только при малых деформациях и далеко не для всех материалов ! Так, для многих полимеров закон Гука не будет выполняться. Выполняется он только, напомним, в линейных системах.
Как же описывать связь силы упругости и деформации в нелинейных системах, т.е. когда деформация не мала . Или что делать, когда закон Гука неприменим. Очень хорошо, что вы об этом задумались! Но это большая и сложная тема. Всё опять сводится к закону Гука в обобщенной форме и условно принимается, что деформация мала. Примерно так :).
Читайте также: